北陸数論セミナー過去の記録（2022年度）

第269回（2022年12月1日（木），18:15～，金沢大学サテライトプラザ）
講演: Kimball Martin 氏（University of Oklahoma）
講演題目: Rationality fields of modular forms and genus 2 curves
概要: Typically modular forms have large rationality fields, but those with small rationality fields are of particular interest. For instance, weight 2 newforms with degree d rationality fields correspond to d-dimensional abelian varieties (elliptic curves when d=1). I will discuss ongoing investigations with Alex Cowan about the distribution of small rationality fields, with an emphasis on the case d=2, which is closely related to counting genus 2 curves with real multiplication.

第268回（2022年11月10日（木），18:15～，金沢大学サテライトプラザ）
講演: 小松亨氏（東京理科大学）
講演題目: 多胎単数について
概要: 代数的整数全体からなる環 $O$ における単数全体からなる群を $U$ とする. $U$ の元 $u$ に対しある有理整数 $s\neq 0$ が存在し $u+s$も $U$の元のとき, $u$を多胎単数という. 例えば $1$ と $-1$ は多胎単数, 特に双子単数である. 2次体の単数に関して, $(-3+\sqrt{5})/2, (-1+\sqrt{5})/2,(1+\sqrt{5})/2,(3+\sqrt{5})/2$ およびその2次共役はそれぞれ四つ子単数であり, $\sqrt{-1},-\sqrt{-1}$は多胎単数でなく, それ以外の2次単数は双子単数である. 本講演は第205回（平成29年6月8日（木））の内容の続きであり, 3次巡回体における多胎単数についてお話しさせていただく.

第267回（2022年10月20日（木），18:15～，金沢大学サテライトプラザ）
講演: 平林幹人氏（金沢工大）
講演題目: Formulas for total stopping time
概要: In 2019 Ruggiero gave a conjectural formula for total stopping time for aCollatz sequence of a natural number.; In this talk, using two functions defined on positive odd integers, we give a formula for the length of the binary expression of a positive odd number. By this formula we can give a necessary and sufficient condition for the validity of the Collatz conjecture. Secondly, using some properties of the two functions, we give formulas for total stopping time for an odd integer, which could support the conjecture of Ruggiero.

第266回（2022年7月28日（木），18:15～，金沢大学サテライトプラザ）
講演: 吉田学氏（富山高専）
講演題目: 正標数局所体の全拡大の生成アルゴリズム
概要: 剰余体が有限体である混標数局所体は拡大次数を固定すると有限個である。Pauli-Roblotはそれら全ての拡大の定義多項式を生成するアルゴリズムを与えた。一方、正標数局所体は拡大次数を固定すると無限個あるが、分岐を固定すると有限個である。本講演では、これらすべての拡大の定義多項式を生成するアルゴリズムを与える。Deligneによるtruncated discrete valuation fieldsの理論を用いて、異なる標数の局所体をswitchしてPauli-Roblotのアルゴリズムに帰着させる。(横山俊一氏との共同研究)

第265回（2022年7月14日（木），18:15～，金沢大学サテライトプラザ）
講演: 高梨悠吾氏（東京大学）
講演題目: $p$進体上の$\mathrm{GL}_n$の内部形式の共役自己双対表現の偶奇性
概要: $p$ 進体上の $\mathrm{GL}_n$ の離散系列表現のパラメータ付けの方法として局所 Langlands 対応と局所 Jacquet-Langlands 対応の 2 つがある. これらの合成写像は $\mathrm{GL}_n$ の内部形式の離散系列表現を離散 $L$- パラメータと呼ばれる Galois 表現に移す. 一方で自己双対な既約表現に対して, 表現が直交的か斜交的かによって偶奇性という不変量が定まる. 上の合成写像は自己双対性を保ち偶奇性を変換するが, Prasad と Ramakrishnan はこの変換則を計算しそれが非自明な規則であることを示した. 三枝はこの問題の共役自己双対類似を考え, 群と表現にある条件を課した下で偶奇性の変換則を計算した . 今回の講演ではこの共役自己双対類似の一般の場合について, Prasad と Ramakrishnan の大域化の方法の類似を用いた証明の概略を述べる.